一個可以在大流行期間支持醫院工作流程管理的數學模型

作者:Marc Garbey,Guillaume Joerger,Shannon Furr Vid Fikfak

跟其他的大流行一樣,2019年新型冠狀病毒在全世界的散播嚴重地阻礙了病人流量管理也同時造成了醫院資源的嚴重緊缺。因此,醫療保健專業人員必須在病人照護和資源分配上做出困難的抉擇。雖然有可用於病人分級的檢查表,大流行的動態變動卻使檢查表很難被有效的運用高階管理人員因此需要一個新的工具可以提升端到端的需求能見度來做醫院裡病床限制的識別和預報。

許多政府和私人機構專注於建立告示板以提供給一般民眾2019年新型冠狀病毒的評估資訊。從大量跟流行病學數學模組相關的文獻中可以提取出一個嚴謹,適合預測2019年新型冠狀病毒動態變化的架構 [9,10]。然而,因為研究員還沒有完全瞭解這個疾病,要在地方醫院的層級優化病人工作流程管理需要的必要資料很複雜。各家醫院因此必須各自去適應2019年新型冠狀病毒每天的變化。指導方針需要時間來落實;即使遵循的是最新的訊息臨床使用仍會得出非常不一樣的結果。

合適的數據集和敏捷數學模型

法國政府釋出了全國大部份的公立醫院在2019年新型冠狀病毒危機時期的記錄。釋出的文件揭露了住院的病患數量,加護病房病患數量,恢復且出院了的病患人數,和在醫療機構死亡的病患人數。這些數據每天被更新,最早可回溯至2020318日。因為可用數據不多,我們從很簡單的模型開始,制定出可以對應到所有病人疾病管理的工作流程 (詳圖一)。

圖一. 醫院裡的病患流程

大部份需要住院的病人會先被置於醫療樓層做前期的評估和治療。在住院期間不間斷地使用非侵入式監測,醫學影像,和血液檢查來幫助確定病人狀況。有些資源,像是醫學影像和實驗室作業,是由全醫院的病人所共用。若不能負荷病人的需求,整體過程將被延緩。有一些醫療照顧的病患對保守療法有很好的反應,只住院幾天就能出院。其他病患的健康狀況確可能惡化,需要被轉移到中重度病房 (IMU) 接受額外治療,或是到加護病房 (ICU) 接受持續監測甚至使用到機械式呼吸輔助。

IMUICU都需要用到大量的補給和資源。人工呼吸器不是唯一的限制因素。接受機械式呼吸輔助的病患同時也需要鎮靜劑,而且也可能會用到輔助器官衰敗患者的機器。因為我們工作流程的發展方向是由下而上[5,8],只要不欠缺必要的數據,增加以上提及的限制因素到我們的模型中在技術性來講是不困難的。其他專門提供給沒有治療效果的患者的樓層像是恢復室或是舒緩照護樓層也應該被加入到模型中當然,以上是標準程序的敘述例外和異常狀況是常常會發生的。舉例來說,病患有可能一住院就直接被送進加護病房如果他/她的狀況非常不穩定。在某些醫院,恢復中的2019新型冠狀病毒病患和舒緩照護病患有可能會被放在同一個樓層。扼要地說,我們是在建立一個簡單的流程圖來幫我們(i)斷定一個病患從一種病房轉換到另一種病房的可能性和(ii)執行病患在每種病房滯留期間的統計估計運作。

因為這個離散模型是隨機的,我們需要執行很多次的模擬以便使用統計估計來求出感興趣的數值。需要透過數據的擬合來提取的未知參數眾多。為避免擬合過度,研究員應該設計一個策略透過臨床文獻或是驗證完的假設降低需要的未知參數量。因為工作流程通常都跟醫院的流程一樣是離散的,嘈雜的,且非線性的,同樣是可以用隨機最佳化方法來取得模型的未知參數。

疾病的演化很大程度的支配了病人的狀況。除此之外,延遲在醫療程序中會積累。生物和管理過程的持續時間通常都是用長尾型對數常態分布來形容。而簡單的指數分佈不一定理想地描述病患的住院天數 (LOS)。這兩個概念是不相衝突的。總體來講,LOS加總馬爾科夫過程裡每個步驟的時間分布可以用每一步驟裡機率分布和時間分布的捲積來描述[7]。舉例來說,根據臨床研究結果,我們發現需要用到不自然的兩階段分解法來詮釋病患待在ICU的時間,以避開單一分佈構造可能無法完整的表達出LOS模型的限制[1]

為了引導優化的過程,我們執行了模型的穩定性分析把最敏感參數排名來分辨出評量的先後順序。最終成果還是會受職員的狀態和病患的組成所影響,而且臨床人員對每一個步驟的LOS都很清楚,可以提供一個大致的時間窗口讓我們在第二次檢視演算法時微調。要獲得新的大流行初期的實際死亡率是很困難的。

我們這個簡化的第一個模型基本上是使用基因演算法來做模型跟法國數據集[4]的比較來校準出六個參數值。圖二描繪的是模型跟法國2020318日到2020424日期間數據集相比的成功結果。

圖二. 模型跟法國醫院的數據做比較。第三十三日對應的是2020318,也是我們數據集裡的第一個日子。第七十日是2020424日。3月18日前缺失的住院資料我們以一個指數模型來填補。2a. 頂部: 輸入的內容是病患住院數據底:加護病房(ICU)中機械式呼吸輔助的病患數量跟數據集的比對。2b. 頂:每天復原離開醫院的病患數量。底:每天死亡數量。

提取訊息來合理化策略

一位管理者有可能會面臨以下簡單確重要的問題。每一層樓需要幾個病床而重症加護病房裡還剩幾個病床可以用?為了支援病人照護和確保職員不被感染,還需要訂購多少補給?醫療設施需要在最高負載量維持多久的運作時間而職員人數有辦法支持這個工作量嗎?一個重要的關鍵就是做監護病房負荷量和需要資源的預估,以決定是否需要增加資源來應付病患量的成長,或是可以把資源做再分配,重新安排原本被取消的外科手術。

圖三. 預測有第二波大流行發生時的單位負載

我們選擇一個有第二波大流行的假設情景來說明這個概念我們假設第一周到第七周醫院的病患流量低了些許但在第八周卻遇上第二波爆發,每天增加20%新病患量圖三顯示每一個監護病房的負載動態黑色的線條是第七周而紅色的線條是將要遇上第二波疫情的第八周最上面的細的紅線標示出加上一個正標準差之後的值讓我們可以體會隨時間增長的預測不確定性藍色的線條顯示的是每一個監護病房假定的容量,可以幫助判斷哪一層樓會最先飽和,會最快需要新的病床。若管理者看到這樣的預測,他們將會繼續取消選擇性外科手術,以騰出病床給預期中的2019年新型冠狀病毒病患,也會招募需要的員工和安排好額外的物資。(詳圖四)

圖四. 預測需要的基礎設施以承受我們假設情景中的第二波大流行4a. 每一輪八小時輪班需要的員工數量4b. 每天需要的物資數量

我們的模型可以幫助管理者在病人照護上做出眾多的決定圖五比較的是患者在有護士和缺少護士的狀況下的治癒和死亡率圖五裡面的結果是有點純理論性,因為患者的風險在沒有發表的結果做根據的情況下是很難數據化的[2,3,6]。我們希望在2019年新型冠狀病毒時期累績的資料可以提供數學建模的新基礎以求未來可以做到嚴謹的預估

圖五. 在有第二波大流行假設情景下的預測表現5a. 前一個禮拜的病患結果5b. 下一個禮拜的預測病患結果

無可否認地我們的方法有某些限制較小醫院的結果較難以預測而來到急診室的病患群特徵會隨時間改變系統性的檢測可以促成早期診斷並影響整體醫療系統的表現從一開始就採用這個策略的國家所收集到的統計數據幫忙證實了這一點由於病患人口和疾病模式的異質性取決於病患特徵我們下一階段的模型會包含從電子健康紀錄中得來的病患疾病史我們要找出一個在醫院的生態系統中會維持準確性的流行病模型用它來精進我們的醫院工作流程模型最後我們預料在大流行下的數位健康電腦模型在未來會大量地使用到社會和經濟的建模用元件

這一篇文章裡的圖形是由作者所提供

致謝:我們想感謝Patrick Doolan分享了他從能源工業中體悟出的管理和風險評估見解

參考文獻

[1] Esteban, A., Anzueto, A., Frutos, F., Alía, I., Brochard, L., Stewart, T.E., …, Tobin, M.J. (2002). Characteristics and outcomes in adult patients receiving mechanical ventilation. [成年病人接受機械式呼吸輔助的特徵和結果.] JAMA, 287(3), 345-55.

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[10] Yang, C., & Wang, J. (2020). A mathematical model for the novel coronavirus epidemic in Wuhan, China. [數學模型用於2019新型冠狀病毒流行病在中國武漢.] Math. Biosci. Eng., 17(3), 27082724.

 

Marc Garbey 是一名計算科學手術應用教授在休斯頓衛理公會醫院和威爾康奈爾醫學院同時也是一名教授在環境工程科學實驗室 – UMR CNRS 7356在拉羅謝爾大學法國。Guillaume Joerger是首席技術官在ORintelligence, LLC。Shannon Furr ORintelligence, LLC的資訊系統主管。Vid Fikfak是在德克薩斯大學醫學中心外科學系的副教授